Review of my monograph in the Nieuw Archief voor Wiskunde

Nonconservative stability problems of modern physics by Oleg N. Kirillov Studies in Mathematical Physics 14, Walter de Gruyter GmbH, 429 pp. 2013, prijs US $ 172,90

Nieuw Archief voor Wiskunde, June 2014, p. 146

Tijdens mijn eerste twee jaren studie wis- en nauurkunde was Lineaire Algebra met grote afstand het saaiste onderwerp: formele structuren en rekenregels zonder enig avontuur. Nee, dan analyse, de topologie van R of Maxwells theorie van het electromagnetisme. Pas later ontdekte ik hoe interessant en spannend lineaire algebra kan zijn, het boek van Kirillov is hiervan opnieuw een illustratie. Ik laat hier terzijde het belang van numeriek onderzoek van zeer grote en vaak ijle matrices, problemen die speciale wiskundige behandeling behoeven. Bij stabiliteitsproblemen zoals behandeld in dit boek, gaat het meestal om eigenwaarden onderzoek waarbij meervoudigheid van eigenwaarden, zuiver imaginaire eigenwaarden, eigenwaarden nul met bijbehorende storingen en bifurcaties allerlei interessant gedrag oplevert. Het begrip Krein signatuur voor meervoudige, zuiver imaginaire eigenwaarden en bijbehorende eigenvektoren speelt hierbij een belangrijke rol.

Het onderzoek aan deze problemen begon in de tweede helft van de negentiende eeuw met werk van de fysici Maxwell, W. Thomson (Lord Kelvin) en anderen. Interessant is dat ook twee Nederlanders, L.E.J. Brouwer en O. Bottema op dit gebied opvallende bijdragen hebben geleverd. Brouwer behandelde in 1918 (Nieuw Archief voor Wiskunde 2, pp. 407-419) het probleem van een massapunt op een roterende vaas. In het algemeen kan een evenwichtspunt lokaal een kuiltje zijn, een heuveltop of een zadeloppervlak. Brouwer vond dat bij voldoende rotatiesnelheid ook het evenwicht op een zadelvlak stabiel kan zijn. Het probleem van de roterende vaas vormt in dit boek het karakteristieke mechanische voorbeeld waarvan we de eigenschappen in ingewikkelder problemen steeds weer tegenkomen. Het probleem van Brouwer dat twee vrijheidsgraden (vier dimensies) telt, verandert sterk als we wrijving toevoegen. Het gaf grote verwarring toen bleek dat een toestand die zonder wrijving stabiel was, door wrijving instabiel kon worden. In de werktuigbouwkunde noemt men dit Ziegler’s paradox. In 1955-1956 loste Bottema dit probleem voor twee vrijheidsgraden zeer algemeen op; zijn analytische en meetkundige behandeling toont aan dat hier een speciale bifurcatie het gedrag bepaalt; deze bifurcatie duiden we nu meestal aan met ‘Whitney umbrella’. Hoewel Bottema goede contacten had met ingenieurs, raakte dit deel van zijn werk niet erg bekend; zie ook Nieuw Archief voor Wiskunde 10, pp. 250-254, 2009 (Wie opende Whitney’s paraplu?).

Na het eerste hoofdstuk dat uitvoerig de problematiek illustreert, gaan de volgende twee hoofdstukken vooral over stabiliteitstheorie en de benodigde lineaire algebra. Er is een zekere, maar niet hinderlijke nadruk op de Russiche literatuur met intrigerende zijsprongen. Zo hielden eminente wetenschappers als M.A. Lavrent’ev en S.L. Sobolev zich bezig met de stabiliteit van bewegende bollen en kegels die vloeistoffen bevatten. Dit vond plaats tijdens de tweede wereldoorlog toen het Sowjetleger granaten wilden afschieten die chemicali¨en bevatten (gifgassen en andere onheil verspreidende stoffen). De hoofdstukken 4-6 betreffen reversibele en trillende systemen (o.a. robot control), potentiaalproblemen met toevoegde krachten en de reeds bovengenoemde instabiliteit veroorzaakt door dissipatie.

In de hoofdstukken 7-12 worden oneindig dimensionale problemen aangesneden waarbij niet- zelfgeadjungeerde operatoren en vele deels opgeloste en onopgeloste kwesties aan de orde komen. We komen continue roterende systemen tegen, flutter verschijnselen, opnieuw Krein’s signatuur, niet-Hermitische storingen van Hermitische matrices, magnetorotationele instabiliteit en vele andere onderwerpen. Het boek bevat 626 referenties.

Niet vaak verschjnt een monografie die de modernste wiskundige methoden combineert met de studie van belangrijke fysische verschijnselen. Het is een prachtig voorbeeld uit de excellente Moskouse mathematische fysica school die nu helaas min of meer verdwenen is (de auteur is tegenwoordig werkzaam in Dresden).

Ferdinand Verhulst, Mathematisch Instituut, Universiteit van Utrecht

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s